ド ラーム コホモロジー

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ド・ラームコホモロジー(英: de Rham cohomology)とは可微分多様体のひとつの不変量で、多様体上の微分形式を用いて定まるベクトル空間である。多様体の位相不変量である特異コホモロジーとド・ラームコホモロジーは同型になるというド・ラームの定理がある。

多様体上の

多様体上の

は 複体 であり、これを ド・ラーム複体 と呼ぶ。. この複体のコホモロジーが ド・ラームコホモロジー である。. すなわち、閉形式の空間を完全形式の空間でわった商. H d R k ( M ) = Ker ⁡ d k / Im ⁡ d k − 1 {\displaystyle H_ {\mathrm {dR} }^ {k} (M)=\operatorname {Ker} d_ {k}/\operatorname {Im} d_ {k-1}} が k 次ド・ラームコホモロジー群である。. 定義からわかるように Hk. dR = 0 であることと ...

は 複体 であり、これを ド・ラーム複体 と呼ぶ。. この複体のコホモロジーが ド・ラームコホモロジー である。. すなわち、閉形式の空間を完全形式の空間でわった商. H d R k ( M ) = Ker ⁡ d k / Im ⁡ d k − 1 {\displaystyle H_ {\mathrm {dR} }^ {k} (M)=\operatorname {Ker} d_ {k}/\operatorname {Im} d_ {k-1}} が k 次ド・ラームコホモロジー群である。. 定義からわかるように Hk. dR = 0 であることと ...

ド・ラームコホモロジーは、ファイバー r を持つ 定数層 (英語版) の チェックコホモロジー (英語版) と同型である。 H d R k ( M ) ≅ H ˇ k ( M , R ) . {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\cong {\check {H}}^{k}(M,\mathbf {R} ).}

5 ド・ラームコホモロジー 24 6 ポアンカレの補題 30 7 コチェイン複体とそのコホモロジー 35 8 1の分解 43 9 マイヤー・ビートリス系列 48 10 ホモトピー不変性 54 11 ホモトピー不変性(続き) 59 12 ブラウワーの定理 65 13 ジョルダン・ブラウワーの定理 71 ii

ド・ラームの定理は、この写像 i が同型であるという定理である。 さらに微分形式の ウェッジ積 と特異コホモロジーの カップ積 が整合的であり、この積から定まる2つの コホモロジー環 は( 次数付き環 として)同型となることも言っている。

1931年に、 Georges de Rham (英語版) はホモロジーと外微分形式を関連付け、ド・ラームの定理を証明した。この結果は今ではコホモロジーの言葉でより自然に解釈して理解される。

特にド・ラーム コホモロジー類を代表する無限個の閉形式のなかには、 この大きさの観点で最も均整のとれた微分形式がただ一つだけ存在していて、調和形式という。』 小林昭七の「曲線と曲面の微分幾何」にガウス曲率が説明されています。 そこに出ている実例を計算してみると上記の話 ...

ドラーム・コホモロジー群の計算ができれば、二つの多様体が異なることを示せる。 命題 2.6.1 \(M\) をコンパクト多様体の開集合、 \(M_1 \subset M,\ M_2 \subset M\) を \(M_1 \cup M_2 = M\) なる開集合、 \(M_{12} = M_1 \cap M_2\) とし、

先ほどの図式、正式に言うと多様体の微分形式の コチェイン複体 を多様体 \(M\) のドラーム複体と呼ぶ。 記号は \(\varOmega^*(M)\) とする。 複体というのは性質 \(\dd \circ \dd = 0\) のことだ。 \(\im(\dd) \subset \ker(\dd)\) の「差」をはかるのにコホモロジー群という群を使う。

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